復合函數求導公式表圖片

復合函數求導是微積分中的一個重要概念，它涉及到兩個或多個函數復合在一起時的導數計算。以下是一些常見的復合函數求導公式：

1. 鏈式法則：如果 \( y = f(u) \) 且 \( u = g(x) \)，那么 \( y \) 關于 \( x \) 的導數是：

\[

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

\]

2. 乘積法則：如果 \( y = uv \)，其中 \( u \) 和 \( v \) 都是 \( x \) 的函數，那么：

\[

\frac{dy}{dx} = u'v + uv'

\]

3. 商法則：如果 \( y = \frac{u}{v} \)，其中 \( u \) 和 \( v \) 都是 \( x \) 的函數，那么：

\[

\frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^2}

\]

4. 鏈式法則的擴展：如果 \( y = f(u, v) \) 且 \( u = g(x) \)，\( v = h(x) \)，那么：

\[

\frac{dy}{dx} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{du}{dx} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{dv}{dx}

\]

5. 復合三角函數：

- \( \fracz1frvtrv{dx}(\sin(g(x))) = \cos(g(x))g'(x) \)

- \( \fracz1frvtrv{dx}(\cos(g(x))) = -\sin(g(x))g'(x) \)

- \( \fracz1frvtrv{dx}(\tan(g(x))) = \sec^2(g(x))g'(x) \)

- 等等。

6. 復合指數和對數函數：

- \( \fracz1frvtrv{dx}(a^{g(x)}) = a^{g(x)}\ln(a)g'(x) \)

- \( \fracz1frvtrv{dx}(\log_a(g(x))) = \frac{g'(x)}{g(x)\ln(a)} \)

- \( \fracz1frvtrv{dx}(e^{g(x)}) = e^{g(x)}g'(x) \)

- \( \fracz1frvtrv{dx}(\ln(g(x))) = \frac{g'(x)}{g(x)} \)

- 等等。

這些是一些基本的復合函數求導公式。如果你需要更詳細的表格或者圖片形式的資料，你可以在網上搜索“復合函數求導公式表”來找到相關的資源。由于我不能直接發送圖片，你可以使用搜索引擎來找到這些資料。

簡單復合函數的求導法則

簡單復合函數的求導法則通常指的是鏈式法則（Chain Rule），它是微積分中用于求導復合函數的一種方法。如果有一個函數 \( y = f(u) \) 和另一個函數 \( u = g(x) \)，那么復合函數 \( y = f(g(x)) \) 的導數可以通過鏈式法則求得。

鏈式法則的公式是：

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]

其中：

- \( \frac{dy}{dx} \) 是復合函數 \( y = f(g(x)) \) 關于 \( x \) 的導數。

- \( \frac{dy}{du} \) 是外函數 \( f(u) \) 關于 \( u \) 的導數。

- \( \frac{du}{dx} \) 是內函數 \( u = g(x) \) 關于 \( x \) 的導數。

例子

假設我們有兩個函數 \( f(u) = u^2 \) 和 \( g(x) = 3x + 1 \)，我們要求復合函數 \( y = f(g(x)) = (3x + 1)^2 \) 的導數。

1. 首先求外函數 \( f(u) \) 的導數：

\[ \fracz1frvtrv{du}(u^2) = 2u \]

2. 然后求內函數 \( g(x) \) 的導數：

\[ \fracz1frvtrv{dx}(3x + 1) = 3 \]

3. 最后應用鏈式法則：

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2(3x + 1) \cdot 3 \]

\[ \frac{dy}{dx} = 6(3x + 1) \]

這就是復合函數 \( y = (3x + 1)^2 \) 的導數。

高中數學18個求導公式

高中數學中常用的求導公式包括基本初等函數的導數和一些基本的求導法則。以下是18個常用的求導公式：

1. \( \fracz1frvtrv{dx}(x^n) = nx^{n-1} \) （冪函數求導）

2. \( \fracz1frvtrv{dx}(e^x) = e^x \) （指數函數求導）

3. \( \fracz1frvtrv{dx}(a^x) = a^x \ln(a) \) （指數函數求導，底數為a）

4. \( \fracz1frvtrv{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x} \) （自然對數求導）

5. \( \fracz1frvtrv{dx}(\log_a(x)) = \frac{1}{x \ln(a)} \) （對數函數求導，底數為a）

6. \( \fracz1frvtrv{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \) （正弦函數求導）

7. \( \fracz1frvtrv{dx}(\cos(x)) = -\sin(x) \) （余弦函數求導）

8. \( \fracz1frvtrv{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x) \) （正切函數求導）

9. \( \fracz1frvtrv{dx}(\cot(x)) = -\csc^2(x) \) （余切函數求導）

10. \( \fracz1frvtrv{dx}(\sec(x)) = \sec(x) \tan(x) \) （正割函數求導）

11. \( \fracz1frvtrv{dx}(\csc(x)) = -\csc(x) \cot(x) \) （余割函數求導）

12. \( \fracz1frvtrv{dx}(\sinh(x)) = \cosh(x) \) （雙曲正弦函數求導）

13. \( \fracz1frvtrv{dx}(\cosh(x)) = \sinh(x) \) （雙曲余弦函數求導）

14. \( \fracz1frvtrv{dx}(\tanh(x)) = \text{sech}^2(x) \) （雙曲正切函數求導）

15. \( \fracz1frvtrv{dx}(\coth(x)) = -\text{csch}^2(x) \) （雙曲余切函數求導）

16. \( \fracz1frvtrv{dx}(\text{sech}(x)) = -\text{sech}(x) \tanh(x) \) （雙曲正割函數求導）

17. \( \fracz1frvtrv{dx}(\text{csch}(x)) = -\text{csch}(x) \coth(x) \) （雙曲余割函數求導）

18. \( \fracz1frvtrv{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \) （乘積法則）

這些公式是微積分中的基礎，對于解決各種數學問題至關重要。